与えられた二次関数 $y = x^2 + 3x + 2$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形せよ。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = x^2 + 3x + 2$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$x^2 + 3x$ の部分に注目します。

$x$ の係数である $3$ の半分である $\frac{3}{2}$ を用いて、 $(x + \frac{3}{2})^2$ を作ります。

この式を展開すると $x^2 + 3x + \frac{9}{4}$ となります。

したがって、$x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$ となります。

与えられた二次関数に代入すると、

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 2$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{8}{4}$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$

ここで、$a = 1$, $p = -\frac{3}{2}$, $q = -\frac{1}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{1}{4}$