二項定理を用いて、以下の2つの値を求める問題です。 (1) $\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$ (2) $\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_k$

1. 問題の内容

二項定理を用いて、以下の2つの値を求める問題です。

(1) $\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$

(2) $\sum_{k=1}^{8} {}_{9}C_k$

2. 解き方の手順

(1) 二項定理において、$a=1$、$b=1$とすると、以下の式が得られます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k a^{n-k} b^k$

$(1+1)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k 1^{10-k} 1^k$

$2^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$

したがって、$\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$ の値は $2^{10}$ です。

(2) 二項定理において、$a=1$、$b=1$とすると、以下の式が得られます。

$(1+1)^9 = \sum_{k=0}^{9} {}_9C_k$

$2^9 = \sum_{k=0}^{9} {}_9C_k = {}_9C_0 + \sum_{k=1}^{8} {}_9C_k + {}_9C_9$

$\sum_{k=1}^{8} {}_9C_k = 2^9 - {}_9C_0 - {}_9C_9$

${}_9C_0 = 1$ であり、${}_9C_9 = 1$ であるため、

$\sum_{k=1}^{8} {}_9C_k = 2^9 - 1 - 1 = 2^9 - 2 = 512 - 2 = 510$

3. 最終的な答え

(1) $2^{10} = 1024$

(2) $510$