問題は、与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には、問題7の(1)から(8)までの式を因数分解する必要があります。

1. 問題の内容

問題は、与えられた多項式を因数分解する問題です。具体的には、問題7の(1)から(8)までの式を因数分解する必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $12x^2y^3 - 15x^3yz$

共通因数を見つけてくくり出す。共通因数は $3x^2y$ なので、

$12x^2y^3 - 15x^3yz = 3x^2y(4y^2 - 5xz)$

(2) $a(x-3y) + b(3y-x)$

$3y-x = -(x-3y)$ なので、

$a(x-3y) + b(3y-x) = a(x-3y) - b(x-3y) = (a-b)(x-3y)$

(3) $x^2 + 14x + 49$

これは $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ の形をしている。$2a = 14$ より $a=7$。

$x^2 + 14x + 49 = (x+7)^2$

(4) $9a^2 - 30ab + 25b^2$

これは $(pa - qb)^2 = p^2a^2 - 2pqab + q^2b^2$ の形をしている。$p^2=9$ より $p=3$、$q^2=25$より $q=5$、そして $2pq = 2*3*5 = 30$であるから、

$9a^2 - 30ab + 25b^2 = (3a-5b)^2$

(5) $64x^2 - 49$

これは $(p x)^2 - q^2$ の形をしている。$p^2 = 64$ より $p=8$、$q^2 = 49$より $q=7$なので、$p^2 x^2 - q^2 = (px-q)(px+q)$。

$64x^2 - 49 = (8x-7)(8x+7)$

(6) $3x^2 - 27y^2$

$3x^2 - 27y^2 = 3(x^2 - 9y^2) = 3(x^2 - (3y)^2) = 3(x-3y)(x+3y)$

(7) $x^2 + 12x + 35$

足して12、掛けて35になる2つの数を見つける。それは5と7。

$x^2 + 12x + 35 = (x+5)(x+7)$

(8) $x^2 - 9xy + 8y^2$

足して-9、掛けて8になる2つの数を見つける。それは-1と-8。

$x^2 - 9xy + 8y^2 = (x-y)(x-8y)$

3. 最終的な答え

(1) $3x^2y(4y^2 - 5xz)$

(2) $(a-b)(x-3y)$

(3) $(x+7)^2$

(4) $(3a-5b)^2$

(5) $(8x-7)(8x+7)$

(6) $3(x-3y)(x+3y)$

(7) $(x+5)(x+7)$

(8) $(x-y)(x-8y)$