与えられた2次関数を平方完成させる問題です。具体的には以下の4つの関数について平方完成を行います。 (1) $y = x^2 + 4x + 1$ (2) $y = -2x^2 + 4x + 3$ (3) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x$ (4) $y = -2x^2 + 3x + 2$

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成させる問題です。具体的には以下の4つの関数について平方完成を行います。

(1) $y = x^2 + 4x + 1$

(2) $y = -2x^2 + 4x + 3$

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x$

(4) $y = -2x^2 + 3x + 2$

2. 解き方の手順

平方完成を行う一般的な手順は以下の通りです。

1. $x^2$ の係数で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

2. 括弧の中を $(x + a)^2 - a^2$ の形に変形します。

3. 定数項を調整します。

(1) $y = x^2 + 4x + 1$ の場合

$x^2$ の係数は1なので、そのまま平方完成できます。

$y = (x + 2)^2 - 2^2 + 1$

$y = (x + 2)^2 - 4 + 1$

$y = (x + 2)^2 - 3$

(2) $y = -2x^2 + 4x + 3$ の場合

$x^2$ の係数である-2で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

$y = -2(x^2 - 2x) + 3$

$y = -2((x - 1)^2 - 1^2) + 3$

$y = -2(x - 1)^2 + 2 + 3$

$y = -2(x - 1)^2 + 5$

(3) $y = \frac{1}{3}x^2 + 2x$ の場合

$x^2$ の係数である$\frac{1}{3}$で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

$y = \frac{1}{3}(x^2 + 6x)$

$y = \frac{1}{3}((x + 3)^2 - 3^2)$

$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 - \frac{1}{3} \cdot 9$

$y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 - 3$

(4) $y = -2x^2 + 3x + 2$ の場合

$x^2$ の係数である-2で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 2$

$y = -2((x - \frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) + 2$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + 2 \cdot \frac{9}{16} + 2$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} + \frac{16}{8}$

$y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{25}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $y = (x + 2)^2 - 3$

(2) $y = -2(x - 1)^2 + 5$

(3) $y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 - 3$

(4) $y = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{25}{8}$