複素数平面上に点O(0), Aがある。 (1) A(-1+2i)のとき、三角形OABがAを直角の頂点とする直角二等辺三角形となる点Bの表す複素数を求めよ。 (2) A(-1+3i)のとき、三角形OABがOを直角の頂点とする直角二等辺三角形となる点Bの表す複素数を求めよ。

1. 問題の内容

複素数平面上に点O(0), Aがある。

(1) A(-1+2i)のとき、三角形OABがAを直角の頂点とする直角二等辺三角形となる点Bの表す複素数を求めよ。

(2) A(-1+3i)のとき、三角形OABがOを直角の頂点とする直角二等辺三角形となる点Bの表す複素数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aを中心として点Bは回転と拡大/縮小によって得られる。$OA = AB$なので、点Aを$\frac{\pi}{2}$または$-\frac{\pi}{2}$回転させたものが点Bになる。

点Aを表す複素数は$a = -1+2i$である。

$\frac{\pi}{2}$回転させる複素数は$i$なので、点Bの複素数は

$b = a + i(a-a) = a + i(0) = a + i(0)$

$B = A + 回転させたベクトル$

点A周りに回転させるので，$B = A + i (A - A)$

$B = A + i(B-A)$

$\frac{\pi}{2}$回転:

$b_1 = a + i(0-(-1+2i)) = a + i(1-2i) = (-1+2i) + (i-2i^2) = (-1+2i) + (i+2) = 1+3i$

$-\frac{\pi}{2}$回転:

$b_2 = a - i(0-(-1+2i)) = a - i(1-2i) = (-1+2i) - (i-2i^2) = (-1+2i) - (i+2) = -3+i$

(2) 点O(0)が直角の頂点なので、三角形OABはOを中心に回転と拡大/縮小によって得られる。$OA = OB$なので、点Aを$\frac{\pi}{2}$または$-\frac{\pi}{2}$回転させたものが点Bになる。

点Aを表す複素数は$a = -1+3i$である。

$\frac{\pi}{2}$回転させる複素数は$i$なので、点Bの複素数は

$b_1 = ai = (-1+3i)i = -i+3i^2 = -i-3 = -3-i$

$-\frac{\pi}{2}$回転させる複素数は$-i$なので、点Bの複素数は

$b_2 = -ai = -(-1+3i)i = (1-3i)i = i-3i^2 = i+3 = 3+i$

3. 最終的な答え

(1) $1+3i$ または $-3+i$

(2) $-3-i$ または $3+i$