与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $(x-1)^3 - 125$ (2) $x^6 - 7x^3 - 8$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $(x-1)^3 - 125$

(2) $x^6 - 7x^3 - 8$

2. 解き方の手順

(1)

$A = x-1$ と置くと、与式は $A^3 - 125$ となります。

$125 = 5^3$ なので、これは $A^3 - 5^3$ となります。

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を用いると、

$A^3 - 5^3 = (A-5)(A^2 + 5A + 25)$ となります。

$A$ を $x-1$ に戻すと、

$(x-1-5)((x-1)^2 + 5(x-1) + 25) = (x-6)(x^2 - 2x + 1 + 5x - 5 + 25) = (x-6)(x^2 + 3x + 21)$ となります。

(2)

$B = x^3$ と置くと、与式は $B^2 - 7B - 8$ となります。

これは $(B-8)(B+1)$ と因数分解できます。

$B$ を $x^3$ に戻すと、

$(x^3 - 8)(x^3 + 1)$ となります。

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ であり、$x^3 + 1 = x^3 + 1^3$ です。

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ と $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を用いると、

$x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

$x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

よって、$(x^3 - 8)(x^3 + 1) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)(x+1)(x^2 - x + 1)$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(x-6)(x^2+3x+21)$

(2) $(x-2)(x+1)(x^2+2x+4)(x^2-x+1)$