与えられた条件を満たす二次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と、グラフが通るもう一点が与えられています。 (2) 軸の方程式と、グラフが通る二点が与えられています。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす二次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と、グラフが通るもう一点が与えられています。

(2) 軸の方程式と、グラフが通る二点が与えられています。

2. 解き方の手順

(1)

頂点が(2, 3)なので、求める二次関数は

$y = a(x - 2)^2 + 3$

と表せます。

このグラフが点(5, -6)を通るので、

$-6 = a(5 - 2)^2 + 3$

$-6 = 9a + 3$

$9a = -9$

$a = -1$

よって、求める二次関数は

$y = -(x - 2)^2 + 3$

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 3$

$y = -x^2 + 4x - 4 + 3$

$y = -x^2 + 4x - 1$

(2)

軸が $x = -2$ なので、求める二次関数は

$y = a(x + 2)^2 + q$

と表せます。

このグラフが点(2, -1), (-8, 4)を通るので、

$-1 = a(2 + 2)^2 + q$

$-1 = 16a + q$ ...(1)

$4 = a(-8 + 2)^2 + q$

$4 = 36a + q$ ...(2)

(2) - (1)より

$5 = 20a$

$a = \frac{1}{4}$

(1)に代入して、

$-1 = 16(\frac{1}{4}) + q$

$-1 = 4 + q$

$q = -5$

よって、求める二次関数は

$y = \frac{1}{4}(x + 2)^2 - 5$

$y = \frac{1}{4}(x^2 + 4x + 4) - 5$

$y = \frac{1}{4}x^2 + x + 1 - 5$

$y = \frac{1}{4}x^2 + x - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 4x - 1$

(2) $y = \frac{1}{4}x^2 + x - 4$