与えられた連立方程式が解 $x, y$ を持つように、定数 $k$ の値を求めます。連立方程式は以下の通りです。 $2x + 3(k+1)y = 8$ ...(1) $(k+2)x + 7y = 3(k+1)$ ...(2) $x + 4ky = 7$ ...(3)

1. 問題の内容

与えられた連立方程式が解 $x, y$ を持つように、定数 $k$ の値を求めます。連立方程式は以下の通りです。

$2x + 3(k+1)y = 8$ ...(1)

$(k+2)x + 7y = 3(k+1)$ ...(2)

$x + 4ky = 7$ ...(3)

2. 解き方の手順

まず、式(3)から $x$ を求めます。

$x = 7 - 4ky$ ...(4)

次に、式(4)を式(1)と式(2)に代入します。

式(1)に代入すると、

$2(7 - 4ky) + 3(k+1)y = 8$

$14 - 8ky + 3ky + 3y = 8$

$-5ky + 3y = -6$

$(3-5k)y = -6$ ...(5)

式(2)に代入すると、

$(k+2)(7 - 4ky) + 7y = 3(k+1)$

$7k + 14 - 4k^2 y - 8ky + 7y = 3k + 3$

$(-4k^2 - 8k + 7)y = -4k - 11$ ...(6)

式(5)から $y$ を求めます。

$y = \frac{-6}{3-5k} = \frac{6}{5k-3}$ ...(7)

ただし、$k \neq \frac{3}{5}$

式(7)を式(6)に代入すると、

$(-4k^2 - 8k + 7) \frac{6}{5k-3} = -4k - 11$

$6(-4k^2 - 8k + 7) = (-4k - 11)(5k-3)$

$-24k^2 - 48k + 42 = -20k^2 + 12k - 55k + 33$

$-24k^2 - 48k + 42 = -20k^2 - 43k + 33$

$-4k^2 - 5k + 9 = 0$

$4k^2 + 5k - 9 = 0$

$(4k + 9)(k - 1) = 0$

$k = -\frac{9}{4}, 1$

ここで、$k = \frac{3}{5}$ の場合を検討します。

式(5)より、 $(3 - 5(\frac{3}{5}))y = -6$ となり、$0 = -6$ となって矛盾します。したがって、$k = \frac{3}{5}$ は解ではありません。

したがって、$k = -\frac{9}{4}, 1$ が解の候補となります。

$k=1$のとき、(5)式は$(3-5)y=-6$より、$-2y=-6$、$y=3$

(3)式より$x + 4(1)(3) = 7$、$x+12=7$、$x=-5$

(1)式に代入すると$2(-5)+3(1+1)(3) = -10+18=8$で成立

(2)式に代入すると$(1+2)(-5)+7(3) = -15+21=6$, $3(1+1) = 6$で成立

$k=-9/4$のとき、(5)式は$(3-5(-9/4))y = -6$より、$(3+45/4)y = -6$、$(12/4+45/4)y = -6$、$(57/4)y = -6$、$y = -24/57 = -8/19$

(3)式より$x + 4(-9/4)(-8/19) = 7$、$x + 72/19 = 7$、$x = 133/19 - 72/19 = 61/19$

3. 最終的な答え

$k = 1, -\frac{9}{4}$