以下の連立方程式が解 $x, y$ を持つように、$k$ の値を定める問題です。 \begin{align*} 2x + 3(k+1)y &= 8 & (1) \\ (k+2)x + 7y &= 3(k+1) & (2) \\ x + 4ky &= 7 & (3) \end{align*}

1. 問題の内容

以下の連立方程式が解 $x, y$ を持つように、$k$ の値を定める問題です。

\begin{align*}

2x + 3(k+1)y &= 8 & (1) \\

(k+2)x + 7y &= 3(k+1) & (2) \\

x + 4ky &= 7 & (3)

\end{align*}

2. 解き方の手順

まず、式(3)から $x$ を $y$ と $k$ を用いて表します。

$x = 7 - 4ky$

これを式(1)と(2)に代入します。

式(1)に代入すると、

$2(7 - 4ky) + 3(k+1)y = 8$

$14 - 8ky + 3ky + 3y = 8$

$(-5k + 3)y = -6$

$y = \frac{-6}{-5k + 3} = \frac{6}{5k - 3}$

式(2)に代入すると、

$(k+2)(7 - 4ky) + 7y = 3(k+1)$

$7k + 14 - 4k(k+2)y - 8ky + 7y = 3k + 3$

$7k + 14 - (4k^2 + 8k + 8k)y + 7y = 3k + 3$

$7k + 14 - (4k^2 + 16k - 7)y = 3k + 3$

$(4k^2 + 16k - 7)y = 4k + 11$

$y = \frac{4k + 11}{4k^2 + 16k - 7}$

2つの $y$ の表式が等しいので、

$\frac{6}{5k - 3} = \frac{4k + 11}{4k^2 + 16k - 7}$

$6(4k^2 + 16k - 7) = (4k + 11)(5k - 3)$

$24k^2 + 96k - 42 = 20k^2 - 12k + 55k - 33$

$4k^2 + 53k - 9 = 0$

$(4k + 1)(k + 9) = 0$

$k = -\frac{1}{4}, -9$

$5k - 3 = 0$ つまり、$k = \frac{3}{5}$ のとき、最初に求めた $y$ の式は定義されないので、この値は除外します。

$4k^2 + 16k - 7 = 0$ のときも同様に $y$ の式は定義されないので、計算すると

$k = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 112}}{8} = \frac{-16 \pm \sqrt{368}}{8} = \frac{-16 \pm 4\sqrt{23}}{8} = -2 \pm \frac{\sqrt{23}}{2}$

$k = -\frac{1}{4}$のとき, $5k - 3 = -\frac{5}{4} - 3 = -\frac{17}{4}$ であり、$4k^2 + 16k - 7 = 4(\frac{1}{16}) - 16(\frac{1}{4}) - 7 = \frac{1}{4} - 4 - 7 = -\frac{43}{4}$

$k = -9$のとき, $5k - 3 = -45 - 3 = -48$ であり、$4k^2 + 16k - 7 = 4(81) - 144 - 7 = 324 - 151 = 173$

これらより、$k = -\frac{1}{4}, -9$ は問題ない。

3. 最終的な答え

$k = -\frac{1}{4}, -9$