$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y=4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求め、さらに $x^2 + 2y^2$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y=4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求め、さらに $x^2 + 2y^2$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$ のとりうる値の範囲を求める。

$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ であり、$x+y=4$ であるから、$y = 4-x$ となる。

$y \ge 0$ より、$4-x \ge 0$ なので、$x \le 4$ となる。

よって、$0 \le x \le 4$ が、$x$ のとりうる値の範囲である。

次に、$x^2+2y^2$ の最大値と最小値を求める。

$y = 4-x$ を $x^2+2y^2$ に代入すると、

$x^2 + 2(4-x)^2 = x^2 + 2(16 - 8x + x^2) = x^2 + 32 - 16x + 2x^2 = 3x^2 - 16x + 32$ となる。

$f(x) = 3x^2 - 16x + 32$ とおく。

$f(x)$ を平方完成すると、

$f(x) = 3(x^2 - \frac{16}{3}x) + 32 = 3(x - \frac{8}{3})^2 - 3(\frac{64}{9}) + 32 = 3(x - \frac{8}{3})^2 - \frac{64}{3} + \frac{96}{3} = 3(x - \frac{8}{3})^2 + \frac{32}{3}$

$0 \le x \le 4$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

$f(x)$ は $x = \frac{8}{3}$ で最小値 $\frac{32}{3}$ をとる。$\frac{8}{3}$ は $0 \le x \le 4$ の範囲に含まれている。

$x=0$ のとき、$f(0) = 3(0)^2 - 16(0) + 32 = 32$

$x=4$ のとき、$f(4) = 3(4)^2 - 16(4) + 32 = 48 - 64 + 32 = 16$

$f(0)=32$ と $f(4)=16$ を比較すると、$x=0$ のときに最大値をとるので、

最大値は32、最小値は $\frac{32}{3}$。

3. 最終的な答え

$x$ のとりうる値の範囲: $0 \le x \le 4$

$x^2+2y^2$ の最大値: $32$

$x^2+2y^2$ の最小値: $\frac{32}{3}$