$\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int \frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$ という関係を利用します。

したがって、$\frac{\sin^2 4x}{\cos^2 4x} = \tan^2 4x$ となります。

積分は $\int \tan^2 4x dx$ と書き直すことができます。

次に、三角関数の恒等式 $\tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$ または $\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ を使用します。

今回の場合は、$\tan^2 4x = \frac{1}{\cos^2 4x} - 1$ が使えます。

よって、

$\int \tan^2 4x dx = \int \left(\frac{1}{\cos^2 4x} - 1\right) dx = \int \frac{1}{\cos^2 4x} dx - \int 1 dx$

ここで、$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ であるから、

$\int \tan^2 4x dx = \int \sec^2 4x dx - \int 1 dx$

$\int \sec^2 x dx = \tan x + C$ を利用すると、

$\int \sec^2 4x dx = \frac{1}{4}\tan 4x + C$ となります。

$\int 1 dx = x + C$ であるから、

$\int \tan^2 4x dx = \frac{1}{4}\tan 4x - x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}\tan 4x - x + C$