与えられた4つの積分を計算する問題です。 (1) $\int e^{3x}e^{4x} dx$ (2) $\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{5x}}} dx$ (3) $\int 2^x 3^x dx$ (4) $\int \sqrt{4^x} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの積分を計算する問題です。

(1) $\int e^{3x}e^{4x} dx$

(2) $\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{5x}}} dx$

(3) $\int 2^x 3^x dx$

(4) $\int \sqrt{4^x} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$e^{3x}e^{4x} = e^{3x+4x} = e^{7x}$ なので、

$\int e^{3x}e^{4x} dx = \int e^{7x} dx = \frac{1}{7} e^{7x} + C$

(2)

$\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{5x}}} = \frac{e^{2x}}{(e^{5x})^{1/2}} = \frac{e^{2x}}{e^{\frac{5}{2}x}} = e^{2x - \frac{5}{2}x} = e^{-\frac{1}{2}x}$

$\int \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{5x}}} dx = \int e^{-\frac{1}{2}x} dx = -2e^{-\frac{1}{2}x} + C$

(3)

$2^x 3^x = (2 \cdot 3)^x = 6^x$

$\int 2^x 3^x dx = \int 6^x dx = \int e^{\ln(6^x)} dx = \int e^{x \ln 6} dx = \frac{1}{\ln 6} e^{x \ln 6} + C = \frac{1}{\ln 6} 6^x + C$

(4)

$\sqrt{4^x} = (4^x)^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{x}{2}} = (2^2)^{\frac{x}{2}} = 2^x$

$\int \sqrt{4^x} dx = \int 2^x dx = \int e^{\ln(2^x)} dx = \int e^{x \ln 2} dx = \frac{1}{\ln 2} e^{x \ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} 2^x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{7} e^{7x} + C$

(2) $-2e^{-\frac{1}{2}x} + C$

(3) $\frac{1}{\ln 6} 6^x + C$

(4) $\frac{1}{\ln 2} 2^x + C$