与えられた積分を計算します。積分は $\int \cos^2(\frac{x}{4}) dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int \cos^2(\frac{x}{4}) dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の倍角の公式 $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ を変形して、$\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を得ます。

この公式を適用して、被積分関数を書き換えます。

$\cos^2(\frac{x}{4}) = \frac{1 + \cos(\frac{x}{2})}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \cos^2(\frac{x}{4}) dx = \int \frac{1 + \cos(\frac{x}{2})}{2} dx$

積分を分割して、

$\int \frac{1 + \cos(\frac{x}{2})}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(\frac{x}{2})) dx = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos(\frac{x}{2}) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int 1 dx = x + C_1$

$\int \cos(\frac{x}{2}) dx = 2 \sin(\frac{x}{2}) + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos(\frac{x}{2}) dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} (2\sin(\frac{x}{2})) + C = \frac{1}{2}x + \sin(\frac{x}{2}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x + \sin(\frac{x}{2}) + C$