与えられた複素数の分数 $\frac{\sqrt{2}+1+i}{\sqrt{2}+1-i}$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた複素数の分数 $\frac{\sqrt{2}+1+i}{\sqrt{2}+1-i}$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

分母の共役複素数を分母分子にかけます。分母の共役複素数は $\sqrt{2}+1+i$ です。

$$\frac{\sqrt{2}+1+i}{\sqrt{2}+1-i} = \frac{\sqrt{2}+1+i}{\sqrt{2}+1-i} \cdot \frac{\sqrt{2}+1+i}{\sqrt{2}+1+i}$$

$$= \frac{(\sqrt{2}+1+i)^2}{(\sqrt{2}+1)^2 - (i)^2}$$

分子を展開します。

$$(\sqrt{2}+1+i)^2 = (\sqrt{2}+1)^2 + 2i(\sqrt{2}+1) + i^2$$

$$= 2 + 2\sqrt{2} + 1 + 2i(\sqrt{2}+1) - 1$$

$$= 2 + 2\sqrt{2} + 2i(\sqrt{2}+1)$$

分母を展開します。

$(\sqrt{2}+1)^2 - i^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 - (-1) = 4 + 2\sqrt{2}$

したがって、

$$\frac{2 + 2\sqrt{2} + 2i(\sqrt{2}+1)}{4 + 2\sqrt{2}} = \frac{2(1 + \sqrt{2} + i(\sqrt{2}+1))}{2(2 + \sqrt{2})} = \frac{(1 + \sqrt{2})(1+i)}{2 + \sqrt{2}}$$

$$= \frac{(1+\sqrt{2})(1+i)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1+i)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$