初項から第3項までの和が26、初項から第6項までの和が728である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める問題。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が26、初項から第6項までの和が728である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、公比 $r=1$ の場合を考える。このとき、$S_n = na$ となる。

$S_3 = 3a = 26$ より $a = \frac{26}{3}$

$S_6 = 6a = 728$ より $a = \frac{728}{6} = \frac{364}{3}$

これらを同時に満たす $a$ は存在しないので、$r \neq 1$ である。

$S_3 = 26$ より $\frac{a(1-r^3)}{1-r} = 26$ ...(1)

$S_6 = 728$ より $\frac{a(1-r^6)}{1-r} = 728$ ...(2)

(2)を(1)で割ると、

$\frac{1-r^6}{1-r^3} = \frac{728}{26} = 28$

$\frac{(1-r^3)(1+r^3)}{1-r^3} = 28$

$1+r^3 = 28$

$r^3 = 27$

$r^3 - 27 = 0$

$r$ は実数なので、$r = 3$

これを(1)に代入すると、

$\frac{a(1-3^3)}{1-3} = 26$

$\frac{a(1-27)}{-2} = 26$

$\frac{a(-26)}{-2} = 26$

$13a = 26$

$a = 2$

3. 最終的な答え

等比数列の初項は 2, 公比は 3 である。