数列の初項から第n項までの和を求める問題です。今回は、(1)の数列について解答します。 与えられた数列は $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$ です。

1. 問題の内容

数列の初項から第n項までの和を求める問題です。今回は、(1)の数列について解答します。

与えられた数列は $2, 2+4, 2+4+6, 2+4+6+8, \dots$ です。

2. 解き方の手順

まず、数列の第k項 $a_k$ を求めます。

第k項は、初項が2、公差が2の等差数列の初項から第k項までの和なので、

$$a_k = \sum_{i=1}^{k} 2i = 2\sum_{i=1}^{k} i = 2\cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) = k^2 + k$$

となります。

次に、数列の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めます。

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

なので、

$$S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{6} (2n+1 + 3) = \frac{n(n+1)}{6} (2n+4) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

3. 最終的な答え

数列の初項から第n項までの和は、 $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ です。