$3\sin\theta + \cos\theta = 3$ が成り立っているとき、$\sin 2\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

1. 問題の内容

$3\sin\theta + \cos\theta = 3$ が成り立っているとき、$\sin 2\theta$ の値を求めよ。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

与えられた条件 $3\sin\theta + \cos\theta = 3$ より、$\cos\theta = 3 - 3\sin\theta$ である。

これを $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ に代入すると、

$\sin^2\theta + (3-3\sin\theta)^2 = 1$

$\sin^2\theta + 9 - 18\sin\theta + 9\sin^2\theta = 1$

$10\sin^2\theta - 18\sin\theta + 8 = 0$

$5\sin^2\theta - 9\sin\theta + 4 = 0$

$(5\sin\theta - 4)(\sin\theta - 1) = 0$

$\sin\theta = 1$ または $\sin\theta = \frac{4}{5}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、

$\sin\theta = 1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{2}$ となり、$3\sin\theta + \cos\theta = 3\cdot 1 + 0 = 3$ を満たす。

$\sin\theta = \frac{4}{5}$ のとき $\cos\theta = 3 - 3\sin\theta = 3 - 3 \cdot \frac{4}{5} = 3 - \frac{12}{5} = \frac{15-12}{5} = \frac{3}{5}$ となる。

$\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ であるから、

$\sin 2\theta = 2\cdot 1 \cdot 0 = 0$ または $\sin 2\theta = 2\cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$ となる。

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $2\theta = \pi$ であるから $\sin 2\theta = \sin \pi = 0$

$\sin\theta = \frac{4}{5}, \cos\theta = \frac{3}{5}$ のとき $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$を満たしており、$0 < 2\theta < \pi$

よって、$\sin 2\theta = \frac{24}{25}$

3. 最終的な答え

$\frac{24}{25}$