座標平面において、点A(0, 5)とし、点(0, 2)を中心とする半径2の円Cがある。点Pが円C上を動くとき、線分APを1:2に外分する点の軌跡が直線$y=2x+6$によって切り取られる線分の長さを求める。

1. 問題の内容

座標平面において、点A(0, 5)とし、点(0, 2)を中心とする半径2の円Cがある。点Pが円C上を動くとき、線分APを1:2に外分する点の軌跡が直線$y=2x+6$によって切り取られる線分の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、点Pの座標を$(x, y)$とする。点Pは円C上にあるので、

$x^2 + (y-2)^2 = 4$

を満たす。

次に、線分APを1:2に外分する点をR$(X, Y)$とする。外分点の公式より、

$X = \frac{2 \cdot 0 - 1 \cdot x}{1 - 2} = \frac{-x}{-1} = x$

$Y = \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot y}{1 - 2} = \frac{10 - y}{-1} = y - 10$

したがって、$x = X$、$y = Y + 10$となる。これを円Cの式に代入すると、

$X^2 + (Y + 10 - 2)^2 = 4$

$X^2 + (Y + 8)^2 = 4$

これは、中心$(0, -8)$、半径2の円を表す。

Rの軌跡と直線$y = 2x + 6$の交点を求める。$Y = 2X + 6$を円の式に代入すると、

$X^2 + (2X + 6 + 8)^2 = 4$

$X^2 + (2X + 14)^2 = 4$

$X^2 + 4X^2 + 56X + 196 = 4$

$5X^2 + 56X + 192 = 0$

この2次方程式の解を$X_1, X_2$とする。解と係数の関係より、

$X_1 + X_2 = -\frac{56}{5}$

$X_1 X_2 = \frac{192}{5}$

交点の座標はそれぞれ$(X_1, 2X_1 + 6), (X_2, 2X_2 + 6)$である。

2点間の距離は

$\sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (2X_2 + 6 - (2X_1 + 6))^2} = \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + (2X_2 - 2X_1)^2}$

$= \sqrt{(X_2 - X_1)^2 + 4(X_2 - X_1)^2} = \sqrt{5(X_2 - X_1)^2} = \sqrt{5} |X_2 - X_1|$

ここで、$(X_2 - X_1)^2 = (X_1 + X_2)^2 - 4X_1 X_2 = (-\frac{56}{5})^2 - 4 \cdot \frac{192}{5} = \frac{3136}{25} - \frac{768 \cdot 5}{25}= \frac{3136 - 3840}{25} = \frac{-704}{25}$

計算間違いです。

Rの座標について、$X = x$, $Y = y - 10$だったので、$y = Y + 10$

$y = 2x + 6$は、$Y + 10 = 2X + 6$となり、$Y = 2X - 4$となる。

これを$X^2 + (Y + 8)^2 = 4$に代入すると、

$X^2 + (2X - 4 + 8)^2 = 4$

$X^2 + (2X + 4)^2 = 4$

$X^2 + 4X^2 + 16X + 16 = 4$

$5X^2 + 16X + 12 = 0$

$(5X + 6)(X + 2) = 0$

$X = -\frac{6}{5}, -2$

$X_1 = -\frac{6}{5}, X_2 = -2$

$Y_1 = 2(-\frac{6}{5}) - 4 = -\frac{12}{5} - \frac{20}{5} = -\frac{32}{5}$

$Y_2 = 2(-2) - 4 = -8$

$(-\frac{6}{5}, -\frac{32}{5}), (-2, -8)$

$\sqrt{(-2 - (-\frac{6}{5}))^2 + (-8 - (-\frac{32}{5}))^2} = \sqrt{(-\frac{4}{5})^2 + (-\frac{8}{5})^2} = \sqrt{\frac{16}{25} + \frac{64}{25}} = \sqrt{\frac{80}{25}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 5}{25}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{5}}{5}$