空間内の3点 $(0,0,0)$, $(2,1,2)$, $(-1,1,3)$ を通る平面のパラメータ表示と方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

空間内の3点 $(0,0,0)$, $(2,1,2)$, $(-1,1,3)$ を通る平面のパラメータ表示と方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

3点を通る平面を求めるには、まず平面上の2つのベクトルを求めます。

点 $(0,0,0)$ を始点とするベクトルを考えると、

$\vec{a} = (2,1,2) - (0,0,0) = (2,1,2)$

$\vec{b} = (-1,1,3) - (0,0,0) = (-1,1,3)$

となります。

パラメータ表示は、パラメータ $s, t$ を用いて

$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b}$

と表されます。したがって、

$\vec{p} = s(2,1,2) + t(-1,1,3) = (2s-t, s+t, 2s+3t)$

これがパラメータ表示です。

次に、平面の方程式を求めます。

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積で与えられます。

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = (2,1,2) \times (-1,1,3) = (1\cdot 3 - 2\cdot 1, 2\cdot (-1) - 2\cdot 3, 2\cdot 1 - 1\cdot (-1)) = (3-2, -2-6, 2+1) = (1,-8,3)$

平面の方程式は、$\vec{n} \cdot \vec{r} = 0$ で与えられます。ここで、$\vec{r} = (x,y,z)$ です。したがって、

$(1,-8,3) \cdot (x,y,z) = 0$

$x - 8y + 3z = 0$

これが平面の方程式です。

3. 最終的な答え

パラメータ表示：

$(x,y,z) = (2s-t, s+t, 2s+3t)$

平面の方程式：

$x - 8y + 3z = 0$