$\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{10}$の小数部分をそれぞれ$a$, $b$, $c$とするとき、$a-c$を計算し、$(\Box+\sqrt{6}-\sqrt{10})(\Box+\sqrt{6}+\sqrt{10})(3+2\sqrt{6})$を計算し、さらに$\Box+\sqrt{6}-\sqrt{10}$の符号に着目して$a$, $b$, $c$の大小関係を求める問題。

1. 問題の内容

$\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{10}$の小数部分をそれぞれ$a$, $b$, $c$とするとき、$a-c$を計算し、$(\Box+\sqrt{6}-\sqrt{10})(\Box+\sqrt{6}+\sqrt{10})(3+2\sqrt{6})$を計算し、さらに$\Box+\sqrt{6}-\sqrt{10}$の符号に着目して$a$, $b$, $c$の大小関係を求める問題。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{6}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt{10}$の整数部分を考える。

$2<\sqrt{6}<3$, $2<\sqrt{7}<3$, $3<\sqrt{10}<4$ である。

したがって、$\sqrt{6} = 2 + a$, $\sqrt{7} = 2 + b$, $\sqrt{10} = 3 + c$ と表せる。

$a = \sqrt{6} - 2$, $b = \sqrt{7} - 2$, $c = \sqrt{10} - 3$ である。

よって、$a - c = (\sqrt{6} - 2) - (\sqrt{10} - 3) = \sqrt{6} - \sqrt{10} + 1$ となる。

したがって、$\Box$ に入るのは 1 である。

次に、$(1 + \sqrt{6} - \sqrt{10})(1 + \sqrt{6} + \sqrt{10})(3 + 2\sqrt{6})$を計算する。

まず、$(1 + \sqrt{6} - \sqrt{10})(1 + \sqrt{6} + \sqrt{10}) = (1 + \sqrt{6})^2 - (\sqrt{10})^2 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 - 10 = -3 + 2\sqrt{6}$

したがって、

$(-3 + 2\sqrt{6})(3 + 2\sqrt{6}) = (2\sqrt{6} - 3)(2\sqrt{6} + 3) = (2\sqrt{6})^2 - 3^2 = 4 \times 6 - 9 = 24 - 9 = 15$ となる。

次に、$1 + \sqrt{6} - \sqrt{10}$の符号を考える。

$2<\sqrt{6}<3$より、$3 < 1+\sqrt{6} < 4$ である。

$3<\sqrt{10}<4$より、$-4<-\sqrt{10}<-3$ である。

したがって、$-1 < 1 + \sqrt{6} - \sqrt{10} < 1$ となり、符号は不明。

しかし、$\sqrt{6} \approx 2.449$, $\sqrt{10} \approx 3.162$ なので、

$1 + \sqrt{6} - \sqrt{10} \approx 1 + 2.449 - 3.162 = 0.287 > 0$ となり、正である。

$a = \sqrt{6} - 2 \approx 0.449$

$b = \sqrt{7} - 2 \approx 0.646$

$c = \sqrt{10} - 3 \approx 0.162$

よって、$c < a < b$

3. 最終的な答え

$a - c = 1 + \sqrt{6} - \sqrt{10}$

$(1 + \sqrt{6} - \sqrt{10})(1 + \sqrt{6} + \sqrt{10})(3 + 2\sqrt{6}) = 15$

$c < a < b$

したがって、イ = 1, ウエ = 15, オ = 2