与えられた3つの行列Aに対して、$A^n$を求める問題です。 (1) $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (3) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列Aに対して、$A^n$を求める問題です。

(1) $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ の場合:

$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

よって、$A^{2k} = I$、$A^{2k+1} = A$。

したがって、

$A^n = \begin{cases} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & (n: \text{偶数}) \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & (n: \text{奇数}) \end{cases}$

(2)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ の場合:

$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (帰納法で証明可能)

(3)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ の場合:

まず、$A$ の固有値を求めます。

固有方程式は、$|A - \lambda I| = 0$より、

$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 2\lambda - 3 = (\lambda - 3)(\lambda + 1) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 3$ と $\lambda_2 = -1$ です。

次に、固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 3$ のとき、

$\begin{pmatrix} 1-3 & 2 \\ 2 & 1-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x = y$ より、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ (定数倍は除く)。

$\lambda_2 = -1$ のとき、

$\begin{pmatrix} 1-(-1) & 2 \\ 2 & 1-(-1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x = -y$ より、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ (定数倍は除く)。

$P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ とおくと、$P^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ となります。

$D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ とおくと、$A = PDP^{-1}$ です。

したがって、$A^n = PD^nP^{-1}$ です。

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3^n & 0 \\ 0 & (-1)^n \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n & (-1)^n \\ 3^n & -(-1)^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$A^n = \begin{cases} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & (n: \text{偶数}) \\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & (n: \text{奇数}) \end{cases}$

(2)

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3)

$A^n = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3^n + (-1)^n & 3^n - (-1)^n \\ 3^n - (-1)^n & 3^n + (-1)^n \end{pmatrix}$