$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ を計算し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$ を計算し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

$\sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形に変形できると仮定して、二重根号を外します。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ となることを利用します。

$9 - 4\sqrt{5} = 9 - 2\sqrt{4 \cdot 5} = 9 - 2\sqrt{20}$

$a + b = 9$ かつ $ab = 20$ となる $a$ と $b$ を探します。

$a = 5$、 $b = 4$ が条件を満たします。

したがって、

$\sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{4})^2}$

$= \sqrt{(\sqrt{5} - 2)^2}$

$= |\sqrt{5} - 2|$

$\sqrt{5} > 2$ なので、

$|\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}-2$