方程式 $|2x| + |x-5| = 8$ を解きます。

1. 問題の内容

方程式 $|2x| + |x-5| = 8$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む方程式を解くためには、絶対値の中身が正か負かで場合分けをします。

$2x$ と $x-5$ の符号で場合分けを行います。

(i) $x \ge 5$ のとき

$2x \ge 0$ かつ $x-5 \ge 0$ なので、 $|2x| = 2x$ かつ $|x-5| = x-5$ となります。

よって、方程式は $2x + (x-5) = 8$ となり、これを解くと $3x - 5 = 8$ から $3x = 13$ となり、$x = \frac{13}{3}$ となります。

しかし、$x \ge 5$ という条件に反するので、この場合は解なしです。

(ii) $0 \le x < 5$ のとき

$2x \ge 0$ かつ $x-5 < 0$ なので、 $|2x| = 2x$ かつ $|x-5| = -(x-5) = 5-x$ となります。

よって、方程式は $2x + (5-x) = 8$ となり、これを解くと $x + 5 = 8$ から $x = 3$ となります。

これは $0 \le x < 5$ の条件を満たします。

(iii) $x < 0$ のとき

$2x < 0$ かつ $x-5 < 0$ なので、 $|2x| = -2x$ かつ $|x-5| = -(x-5) = 5-x$ となります。

よって、方程式は $-2x + (5-x) = 8$ となり、これを解くと $-3x + 5 = 8$ から $-3x = 3$ となり、$x = -1$ となります。

これは $x < 0$ の条件を満たします。

したがって、(ii)と(iii)の場合から、$x = 3$ と $x = -1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = 3, -1$