与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を、余因子行列を用いて求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ の逆行列を、余因子行列を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算する。

(2) 行列 $A$ の余因子行列 $C$ を計算する。

(3) 余因子行列 $C$ の転置行列 $C^T$ を計算する。

(4) 逆行列 $A^{-1}$ を $A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T$ で計算する。

(1) 行列式 $|A|$ の計算

$|A| = 1\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1\cdot0 - 2\cdot1) - 2(3\cdot0 - 2\cdot0) + 1(3\cdot1 - (-1)\cdot0) = -2 - 0 + 3 = 1$

$|A| = 1$

(2) 余因子行列 $C$ の計算

$C_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2$

$C_{12} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3$

$C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$

$C_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$

$C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 + 1 = 5$

$C_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 3) = 1$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 6 = -7$

$C = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & -7 \end{pmatrix}$

(3) 余因子行列の転置行列 $C^T$ の計算

$C^T = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

(4) 逆行列 $A^{-1}$ の計算

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} -2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -7 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -7 \end{pmatrix}$