不等式 $|x+3| < 2x$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|x+3| < 2x$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式 $|x+3| < 2x$ を解くには、場合分けが必要です。

(i) $x+3 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq -3$ のとき、$|x+3| = x+3$ なので、不等式は $x+3 < 2x$ となります。

これを解くと、$3 < x$ となり、これは $x > 3$ を意味します。

$x \geq -3$ と $x > 3$ を両方満たすのは、$x > 3$ です。

(ii) $x+3 < 0$ のとき、つまり $x < -3$ のとき、$|x+3| = -(x+3)$ なので、不等式は $-(x+3) < 2x$ となります。

これを解くと、$-x-3 < 2x$ となり、$3x > -3$、つまり $x > -1$ となります。

$x < -3$ と $x > -1$ を両方満たす $x$ は存在しません。

ただし、$2x$は常に正でなければならないことに注意する必要があります。なぜなら、$|x+3|$は常に非負だからです。

したがって、$2x > 0$ でなければならず、$x > 0$ である必要があります。

上記の(i) の場合、$x > 3$ なので、この条件は満たされます。

上記の(ii) の場合、$x < -3$ より $x > -1$ となることはありませんが、$x > 0$ の条件も満たせません。

したがって、求める解は $x > 3$ です。

3. 最終的な答え

$x > 3$