複素数 $z = 3 - i$ を、原点を中心として指定された角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。 (1) $\frac{2}{3}\pi$ だけ回転させた場合 (2) $-\frac{1}{4}\pi$ だけ回転させた場合

1. 問題の内容

複素数 $z = 3 - i$ を、原点を中心として指定された角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。

(1) $\frac{2}{3}\pi$ だけ回転させた場合

(2) $-\frac{1}{4}\pi$ だけ回転させた場合

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $\theta$ だけ回転させるには、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を掛けます。

(1) $\theta = \frac{2}{3}\pi$ の場合:

$e^{i\frac{2}{3}\pi} = \cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

回転後の複素数は、

$(3 - i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = (-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{3\sqrt{3} + 1}{2}$

(2) $\theta = -\frac{1}{4}\pi$ の場合:

$e^{-i\frac{1}{4}\pi} = \cos(-\frac{1}{4}\pi) + i\sin(-\frac{1}{4}\pi) = \cos(\frac{1}{4}\pi) - i\sin(\frac{1}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

回転後の複素数は、

$(3 - i)(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = (\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) + i(-\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{2\sqrt{2}}{2} + i\frac{-4\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - 2i\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{-3 + \sqrt{3}}{2} + i\frac{3\sqrt{3} + 1}{2}$

(2) $\sqrt{2} - 2i\sqrt{2}$