この問題は、行列式を計算する問題と、行列の積を計算する問題から構成されています。 問題1では、以下の3つの行列式を計算する必要があります。 (1) $\begin{vmatrix} 10 & 20 \\ 30 & 40 \end{vmatrix}$ (2) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ (3) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & -5 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$ 問題2では、以下の2つの行列の積を計算する必要があります。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(-\alpha) & - \sin(-\alpha) \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

この問題は、行列式を計算する問題と、行列の積を計算する問題から構成されています。

問題1では、以下の3つの行列式を計算する必要があります。

(1) $\begin{vmatrix} 10 & 20 \\ 30 & 40 \end{vmatrix}$

(2) $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

(3) $\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & -5 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

問題2では、以下の2つの行列の積を計算する必要があります。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(-\alpha) & - \sin(-\alpha) \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

問題1: 行列式の計算

(1) 2x2行列の行列式は、$ad - bc$で計算できます。

$\begin{vmatrix} 10 & 20 \\ 30 & 40 \end{vmatrix} = (10)(40) - (20)(30) = 400 - 600 = -200$

(2) 3x3行列の行列式は、余因子展開を用いて計算できます。ここでは第1行で展開します。

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - 1(0 - 0) + 1(0 - 1) = 1 - 0 - 1 = 0$

(3) 同様に、3x3行列の行列式を余因子展開で計算します。第1行で展開します。

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 4 & -5 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 2(4 - (-15)) - 1(1 - 5) - 1(3 - (-4)) = 2(19) - 1(-4) - 1(7) = 38 + 4 - 7 = 35$

問題2: 行列の積の計算

(1) 2x2行列と2x1行列の積は、以下のように計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0) + (2)(-1) \\ (3)(0) + (4)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 2 \\ 0 - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix}$

(2) 2x2行列同士の積を計算します。$\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$ および $\sin(-\alpha) = - \sin(\alpha)$であることを利用します。

$\begin{pmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(-\alpha) & - \sin(-\alpha) \\ \sin(-\alpha) & \cos(-\alpha) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & - \sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \sin(\alpha) \\ - \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha - \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha - \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

問題1: 行列式

(1) -200

(2) 0

(3) 35

問題2: 行列の積

(1) $\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$