$(x+1)^8(x-1)^4$ を展開したときの $x^{10}$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x+1)^8(x-1)^4$ を展開したときの $x^{10}$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$(x+1)^8(x-1)^4 = (x+1)^4(x+1)^4(x-1)^4 = (x+1)^4((x+1)(x-1))^4 = (x+1)^4(x^2-1)^4$

$(x+1)^4$ を展開すると

$(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

$(x^2-1)^4$ を展開すると

$(x^2-1)^4 = (x^2)^4 + 4(x^2)^3(-1) + 6(x^2)^2(-1)^2 + 4(x^2)(-1)^3 + (-1)^4 = x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x^2 + 1$

求める係数は、$(x+1)^4$ と $(x^2-1)^4$ の展開式において、$x^{10}$ を作る組み合わせを探すことで得られます。

$(x+1)^4(x^2-1)^4 = (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1)(x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x^2 + 1)$

$x^{10}$ の項を作る組み合わせは次の通りです。

- $x^4 \cdot (-4x^6) = -4x^{10}$

- $4x^3 \cdot (\text{該当なし})$

- $6x^2 \cdot (該当なし)$

- $4x \cdot (該当なし)$

- $1 \cdot (該当なし)$

$(x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1)(x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x^2 + 1)$

$x^{10}$ の項は $x^4$ と $-4x^6$ をかけた $-4x^{10}$ のみです。したがって $x^{10}$ の係数は -4 です。

3. 最終的な答え

-4