軸の方程式が $x=1$ で、2点 $(0, 1)$ と $(3, 7)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める。

1. 問題の内容

軸の方程式が $x=1$ で、2点 $(0, 1)$ と $(3, 7)$ を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求める。

2. 解き方の手順

軸の方程式が $x=1$ であることから、求める2次関数は

$y = a(x-1)^2 + q$

と表すことができる。

ただし、$a$ と $q$ は定数である。

点 $(0, 1)$ を通ることから、

$1 = a(0-1)^2 + q$

$1 = a + q$

よって、

$q = 1 - a$

したがって、2次関数は

$y = a(x-1)^2 + 1 - a$

と表せる。

次に、点 $(3, 7)$ を通ることから、

$7 = a(3-1)^2 + 1 - a$

$7 = a(2)^2 + 1 - a$

$7 = 4a + 1 - a$

$6 = 3a$

$a = 2$

$q = 1 - a$ より、$q = 1 - 2 = -1$

よって、求める2次関数は

$y = 2(x-1)^2 - 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1) - 1$

$y = 2x^2 - 4x + 2 - 1$

$y = 2x^2 - 4x + 1$

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 4x + 1$