与えられた式 $9x^2 - 4y^2 + 4y - 1$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式平方の差
2025/6/12

1. 問題の内容

与えられた式 9x24y2+4y19x^2 - 4y^2 + 4y - 1 を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、4y2+4y1 -4y^2 + 4y - 1 の部分を考えます。
これは (4y24y+1)-(4y^2 - 4y + 1) と書けます。
4y24y+14y^2 - 4y + 1(2y1)2(2y-1)^2 と因数分解できます。
したがって、4y2+4y1=(2y1)2-4y^2 + 4y - 1 = -(2y-1)^2 となります。
与えられた式は 9x2(2y1)29x^2 - (2y-1)^2 と書き換えられます。
9x29x^2(3x)2(3x)^2 と書けるので、この式は (3x)2(2y1)2(3x)^2 - (2y-1)^2 となります。
これは、a2b2=(a+b)(ab)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) の公式を利用できる形です。
ここで、a=3xa = 3xb=2y1b = 2y - 1 とすると、
(3x)2(2y1)2=(3x+(2y1))(3x(2y1))(3x)^2 - (2y-1)^2 = (3x + (2y-1))(3x - (2y-1)) となります。
これを整理すると、(3x+2y1)(3x2y+1)(3x + 2y - 1)(3x - 2y + 1) となります。

3. 最終的な答え

(3x+2y1)(3x2y+1)(3x + 2y - 1)(3x - 2y + 1)

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