複素数 $z = 3 - i$ が与えられています。この複素数を、原点を中心として与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について求めます。 (1) $\frac{2}{3}\pi$ (2) $-\frac{\pi}{4}$

1. 問題の内容

複素数 $z = 3 - i$ が与えられています。この複素数を、原点を中心として与えられた角度だけ回転させた点を表す複素数を求める問題です。具体的には、以下の2つの場合について求めます。

(1) $\frac{2}{3}\pi$

(2) $-\frac{\pi}{4}$

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を角度 $\theta$ だけ回転させることは、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ を掛けることに相当します。したがって、回転後の複素数は $ze^{i\theta}$ となります。

(1) $\theta = \frac{2}{3}\pi$ の場合

$e^{i\frac{2}{3}\pi} = \cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

回転後の複素数は、

$(3-i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + i\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = (-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2})$

$= \frac{-3+\sqrt{3}}{2} + i\frac{3\sqrt{3}+1}{2}$

(2) $\theta = -\frac{\pi}{4}$ の場合

$e^{-i\frac{\pi}{4}} = \cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}$

回転後の複素数は、

$(3-i)(\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{3\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = (\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) + i(-\frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

$= \frac{2\sqrt{2}}{2} + i\frac{-4\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} - 2i\sqrt{2} = \sqrt{2}(1 - 2i)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{-3+\sqrt{3}}{2} + i\frac{3\sqrt{3}+1}{2}$

(2) $\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i$