複素数の累乗を計算する問題です。$\left( \cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi \right)^5$ を計算します。

代数学複素数ド・モアブルの定理極形式
2025/6/12
## 問題の解答
### 問題 1 (1)

1. 問題の内容

複素数の累乗を計算する問題です。(cos23π+isin23π)5\left( \cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi \right)^5 を計算します。

2. 解き方の手順

ド・モアブルの定理を使用します。ド・モアブルの定理とは (cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta というものです。
これを用いて、
(cos23π+isin23π)5=cos(523π)+isin(523π)=cos103π+isin103π\left( \cos \frac{2}{3}\pi + i \sin \frac{2}{3}\pi \right)^5 = \cos \left( 5 \cdot \frac{2}{3}\pi \right) + i \sin \left( 5 \cdot \frac{2}{3}\pi \right) = \cos \frac{10}{3}\pi + i \sin \frac{10}{3}\pi
103π=3π+13π\frac{10}{3}\pi = 3\pi + \frac{1}{3}\pi であるから、
cos103π+isin103π=cos(3π+13π)+isin(3π+13π)=cos(π+13π)+isin(π+13π)=cosπ3isinπ3=12i32\cos \frac{10}{3}\pi + i \sin \frac{10}{3}\pi = \cos \left( 3\pi + \frac{1}{3}\pi \right) + i \sin \left( 3\pi + \frac{1}{3}\pi \right) = \cos \left( \pi + \frac{1}{3}\pi \right) + i \sin \left( \pi + \frac{1}{3}\pi \right) = -\cos \frac{\pi}{3} - i \sin \frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}

3. 最終的な答え

1232i-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i
### 問題 1 (2)

1. 問題の内容

複素数の累乗を計算する問題です。(cosπ4+isinπ4)4\left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)^4 を計算します。

2. 解き方の手順

ド・モアブルの定理を使用します。
(cosπ4+isinπ4)4=cos(4π4)+isin(4π4)=cosπ+isinπ=1+0i=1\left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)^4 = \cos \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1

3. 最終的な答え

1-1
### 問題 2 (1)

1. 問題の内容

複素数の累乗を計算する問題です。(32+12i)6\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \right)^6 を計算します。

2. 解き方の手順

32+12i\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i を極形式で表します。
r=(32)2+(12)2=34+14=1=1r = \sqrt{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{1} = 1
cosθ=32\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, sinθ=12\sin \theta = \frac{1}{2} より θ=π6\theta = \frac{\pi}{6}
よって、32+12i=cosπ6+isinπ6\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}
ド・モアブルの定理より、
(cosπ6+isinπ6)6=cos(6π6)+isin(6π6)=cosπ+isinπ=1+0i=1\left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)^6 = \cos \left( 6 \cdot \frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( 6 \cdot \frac{\pi}{6} \right) = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1

3. 最終的な答え

1-1
### 問題 2 (2)

1. 問題の内容

複素数の累乗を計算する問題です。(13+i)4\left( \frac{1}{\sqrt{3}+i} \right)^{-4} を計算します。

2. 解き方の手順

13+i=3i(3+i)(3i)=3i3+1=3i4=3414i\frac{1}{\sqrt{3}+i} = \frac{\sqrt{3}-i}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)} = \frac{\sqrt{3}-i}{3+1} = \frac{\sqrt{3}-i}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4}i
r=(34)2+(14)2=316+116=416=14=12r = \sqrt{\left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2 + \left( -\frac{1}{4} \right)^2} = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}
cosθ=34÷12=32\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}, sinθ=14÷12=12\sin \theta = -\frac{1}{4} \div \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} より θ=π6\theta = -\frac{\pi}{6}
(13+i)4=(12(cos(π6)+isin(π6)))4=24(cos(4π6)+isin(4π6))=16(cos2π3+isin2π3)\left( \frac{1}{\sqrt{3}+i} \right)^{-4} = \left( \frac{1}{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) \right)^{-4} = 2^4 \left( \cos \left( \frac{4\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{4\pi}{6} \right) \right) = 16 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)
=16(12+i32)=8+83i= 16 \left( -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -8 + 8\sqrt{3}i

3. 最終的な答え

8+83i-8 + 8\sqrt{3}i
### 問題 2 (3)

1. 問題の内容

複素数の累乗を計算する問題です。1(1i)10\frac{1}{(1-i)^{10}} を計算します。

2. 解き方の手順

1i1-i を極形式で表します。
r=12+(1)2=2r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
cosθ=12\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}, sinθ=12\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} より θ=π4\theta = -\frac{\pi}{4}
よって、1i=2(cos(π4)+isin(π4))1-i = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)
(1i)10=(2)10(cos(10π4)+isin(10π4))=25(cos(5π2)+isin(5π2))(1-i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} \left( \cos \left( -\frac{10\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{10\pi}{4} \right) \right) = 2^5 \left( \cos \left( -\frac{5\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{5\pi}{2} \right) \right)
5π2=4π2π2=2ππ2-\frac{5\pi}{2} = -\frac{4\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = -2\pi - \frac{\pi}{2}
よって、cos(5π2)=cos(π2)=0\cos \left( -\frac{5\pi}{2} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0, sin(5π2)=sin(π2)=1\sin \left( -\frac{5\pi}{2} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1
(1i)10=32(0i)=32i(1-i)^{10} = 32 (0 - i) = -32i
1(1i)10=132i=i32i2=i32\frac{1}{(1-i)^{10}} = \frac{1}{-32i} = \frac{i}{-32i^2} = \frac{i}{32}

3. 最終的な答え

132i\frac{1}{32}i

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