はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

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1. 問題の内容**

問題は2つあります。

問題1は、複素数の極形式の累乗を計算する問題です。

(1) $(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi)^5$

(2) $(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})^{-4}$

問題2は、複素数の計算を行う問題です。

(1) $(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)^6$

(2) $(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)^{-4}$

(3) $\frac{1}{(1-i)^{10}}$

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2. 解き方の手順**

**問題1(1)**

ド・モアブルの定理を使って計算します。

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

$(\cos\frac{2}{3}\pi + i\sin\frac{2}{3}\pi)^5 = \cos(\frac{10}{3}\pi) + i\sin(\frac{10}{3}\pi)$

$\frac{10}{3}\pi = 3\pi + \frac{1}{3}\pi$ なので、

$\cos(\frac{10}{3}\pi) = \cos(3\pi + \frac{1}{3}\pi) = \cos(\pi + \frac{1}{3}\pi) = -\cos(\frac{1}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\sin(\frac{10}{3}\pi) = \sin(3\pi + \frac{1}{3}\pi) = \sin(\pi + \frac{1}{3}\pi) = -\sin(\frac{1}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

**問題1(2)**

ド・モアブルの定理を使って計算します。

$(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})^{-4} = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi)$

$\cos(-\pi) = -1$

$\sin(-\pi) = 0$

**問題2(1)**

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$ を極形式で表します。

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}$

$(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)^6 = (\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})^6 = \cos\pi + i\sin\pi = -1$

**問題2(2)**

$(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i)^{-4} = (\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})^{-4} = \cos(-\frac{2}{3}\pi) + i\sin(-\frac{2}{3}\pi)$

$\cos(-\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{2}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

**問題2(3)**

$1-i$ を極形式で表します。

$1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

$(1-i)^{10} = (\sqrt{2})^{10} (\cos(-\frac{10\pi}{4}) + i\sin(-\frac{10\pi}{4})) = 2^5 (\cos(-\frac{5\pi}{2}) + i\sin(-\frac{5\pi}{2}))$

$-\frac{5\pi}{2} = -2\pi - \frac{\pi}{2}$ なので

$\cos(-\frac{5\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$

$\sin(-\frac{5\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$

$(1-i)^{10} = 32(0 - i) = -32i$

$\frac{1}{(1-i)^{10}} = \frac{1}{-32i} = \frac{i}{-32i^2} = \frac{i}{32}$

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3. 最終的な答え**

問題1:

(1) $-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(2) $-1$

問題2:

(1) $-1$

(2) $-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(3) $\frac{i}{32}$