ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$、$\vec{b} = (1, 2)$が与えられているとき、ベクトル $\vec{c} = (3, -2)$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す問題です。つまり、$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を満たす実数 $s$ と $t$ を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (2, 1)$、$\vec{b} = (1, 2)$が与えられているとき、ベクトル $\vec{c} = (3, -2)$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の線形結合で表す問題です。つまり、$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を満たす実数 $s$ と $t$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\vec{c} = s\vec{a} + t\vec{b}$ を成分で表すと、以下のようになります。

$(3, -2) = s(2, 1) + t(1, 2)$

これは、以下の連立方程式に書き換えられます。

$2s + t = 3$

$s + 2t = -2$

一つ目の式を2倍して二つ目の式を引くと、$3s = 8$ となり、$s = \frac{8}{3}$ が得られます。

次に、$s = \frac{8}{3}$ を一つ目の式に代入すると、

$2(\frac{8}{3}) + t = 3$

$\frac{16}{3} + t = 3$

$t = 3 - \frac{16}{3} = \frac{9}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{7}{3}$

したがって、$s = \frac{8}{3}$、 $t = -\frac{7}{3}$ です。

よって、$\vec{c} = \frac{8}{3}\vec{a} - \frac{7}{3}\vec{b}$ となります。

3. 最終的な答え

$\vec{c} = \frac{8}{3}\vec{a} - \frac{7}{3}\vec{b}$