4点A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1), D(3, -5, z)が同一平面上にあるとき、zの値を求めよ。

1. 問題の内容

4点A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1), D(3, -5, z)が同一平面上にあるとき、zの値を求めよ。

2. 解き方の手順

4点A, B, C, Dが同一平面上にある条件は、ベクトル$\overrightarrow{AD}$ がベクトル$\overrightarrow{AB}$ とベクトル$\overrightarrow{AC}$ の線形結合で表せることです。つまり、実数s, tを用いて、

$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

と表せるということです。

まず、各ベクトルを計算します。

$\overrightarrow{AB} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

$\overrightarrow{AC} = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$

$\overrightarrow{AD} = (3-1, -5-0, z-0) = (2, -5, z)$

$\overrightarrow{AD} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$に代入すると、

$(2, -5, z) = s(-1, 1, 0) + t(-1, 0, 1) = (-s-t, s, t)$

よって、以下の連立方程式が得られます。

$-s-t = 2$

$s = -5$

$t = z$

この連立方程式を解きます。

$s = -5$ を $-s - t = 2$ に代入すると、

$-(-5) - t = 2$

$5 - t = 2$

$t = 3$

したがって、$z = t = 3$

3. 最終的な答え

z = 3