$\sqrt{5}$ の小数部分を $a$ とするとき、$\frac{a-3}{a+2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ の小数部分を $a$ とするとき、$\frac{a-3}{a+2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{5}$ がどの整数の間にあるか考えます。

$2^2 = 4$ であり、$3^2 = 9$ なので、$2 < \sqrt{5} < 3$ となります。

したがって、$\sqrt{5}$ の整数部分は2です。

$\sqrt{5}$ の小数部分 $a$ は、$\sqrt{5}$ から整数部分を引いたものなので、

$a = \sqrt{5} - 2$

となります。

次に、$\frac{a-3}{a+2}$ に $a = \sqrt{5} - 2$ を代入します。

$\frac{a-3}{a+2} = \frac{(\sqrt{5} - 2) - 3}{(\sqrt{5} - 2) + 2} = \frac{\sqrt{5} - 5}{\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5} - 5}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5} - 5)\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{5 - 5\sqrt{5}}{5} = \frac{5(1 - \sqrt{5})}{5} = 1 - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$1 - \sqrt{5}$