関数 $f(x) = \int_{-x}^{2x} \sin t \, dt$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 導関数 $f'(x)$ を求める。 (2) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を $\alpha$ とするとき、$\cos \alpha$ の値を求める。 (3) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_{-x}^{2x} \sin t \, dt$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

(2) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を $\alpha$ とするとき、$\cos \alpha$ の値を求める。

(3) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

まず、$f(x)$ を計算します。

$f(x) = \int_{-x}^{2x} \sin t \, dt = [-\cos t]_{-x}^{2x} = -\cos(2x) + \cos(-x) = -\cos(2x) + \cos(x)$.

次に、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(-\cos(2x) + \cos(x)) = 2\sin(2x) - \sin(x)$.

(2) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ が最大値をとる $x$ の値を $\alpha$ とするとき、$\cos \alpha$ の値を求める。

$f'(x) = 2\sin(2x) - \sin(x) = 4\sin(x)\cos(x) - \sin(x) = \sin(x)(4\cos(x) - 1)$.

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$\sin(x) = 0$ または $4\cos(x) - 1 = 0$.

$\sin(x) = 0$ のとき、$x = 0, \pi$.

$4\cos(x) - 1 = 0$ のとき、$\cos(x) = \frac{1}{4}$.

$x = 0, \pi$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(0) = -\cos(0) + \cos(0) = -1 + 1 = 0$.

$f(\pi) = -\cos(2\pi) + \cos(\pi) = -1 - 1 = -2$.

$\cos(x) = \frac{1}{4}$ となる $x$ を $\alpha$ とすると、$0 < \alpha < \pi$.

$f(\alpha) = -\cos(2\alpha) + \cos(\alpha) = -(2\cos^2(\alpha) - 1) + \cos(\alpha) = -2(\frac{1}{4})^2 + 1 + \frac{1}{4} = -2(\frac{1}{16}) + 1 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{8} + \frac{5}{4} = \frac{9}{8}$.

$f(0) = 0$, $f(\pi) = -2$, $f(\alpha) = \frac{9}{8}$ より、$f(x)$ が最大値をとるのは $x = \alpha$ のとき。

$\cos \alpha = \frac{1}{4}$.

(3) $0 \le x \le \pi$ において、$f(x)$ の最小値を求める。

$f(0) = 0$, $f(\pi) = -2$, $f(\alpha) = \frac{9}{8}$ より、$f(x)$ の最小値は $-2$.

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 2\sin(2x) - \sin(x)$

(2) $\cos \alpha = \frac{1}{4}$

(3) $-2$