円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分ACとBDの交点をPとする。AB = CBであるとき、$\triangle BCP \sim \triangle BDC$となることを証明し、空欄を埋め、BP=4cm, PD=6cmのとき、BCの長さを求める。

1. 問題の内容

円周上に4点A, B, C, Dがあり、線分ACとBDの交点をPとする。AB = CBであるとき、$\triangle BCP \sim \triangle BDC$となることを証明し、空欄を埋め、BP=4cm, PD=6cmのとき、BCの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle BCP$と$\triangle BDC$において

共通な角であるから、

$\angle PBC = \angle DBC$ ...(i)　→スは⑤

$AB=CB$より$\triangle ABC$は二等辺三角形であり、二等辺三角形の底角は等しいから、

$\angle BAC = \angle BCA$ ...(ii)　→セは①

$BC$に対する円周角は等しいから、

$\angle BAC = \angle BDC$ ...(iii)　→ソは③

(ii), (iii)より

$\angle BCA = \angle BDC$ ...(iv)　→④

(i), (iv)より、2組の角がそれぞれ等しいから

$\triangle BCP \sim \triangle BDC$　→③

(2)

$\triangle BCP \sim \triangle BDC$より、

$\frac{BC}{BD} = \frac{BP}{BC}$

$BC^2 = BP \cdot BD$

$BC^2 = BP \cdot (BP + PD)$

$BC^2 = 4 \cdot (4 + 6)$

$BC^2 = 4 \cdot 10$

$BC^2 = 40$

$BC = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(1) ス: ⑤、セ: ①、ソ: ③

$\triangle BCP \sim \triangle BDC$: ③

(2) $BC = 2\sqrt{10}$ cm