関数 $f(x) = -x^2 - 2ax + a^2 + 1$ ($-1 \le x \le 3$) の最小値 $m(a)$ を求める問題です。放物線 $C$ の頂点と軸の方程式を求め、$a > -1$ のときと $a \le -1$ のときの $m(a)$ をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 - 2ax + a^2 + 1$ ($-1 \le x \le 3$) の最小値 $m(a)$ を求める問題です。放物線 $C$ の頂点と軸の方程式を求め、$a > -1$ のときと $a \le -1$ のときの $m(a)$ をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 + 2ax) + a^2 + 1$

$f(x) = -(x^2 + 2ax + a^2) + a^2 + a^2 + 1$

$f(x) = -(x+a)^2 + 2a^2 + 1$

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(-a, 2a^2 + 1)$ です。

$C$ の軸の方程式は $x = -a$ です。

(i) $a > -1$ のとき、軸 $x = -a$ が区間 $-1 \le x \le 3$ に含まれるかどうかを検討します。

$-a < -1$ ならば $a > 1$ です。$a>-1$ より $-a$ が $[-1,3]$の中に含まれているかどうかを考えます。

$-1 \le -a \le 3$ のとき、つまり $-3 \le a \le 1$ のとき、$f(x)$ の最小値は区間の端のどちらかになります。

$a > 1$のときは、$-1 \le x \le 3$ において$f(x)$ は単調減少であり、$f(3)$ が最小値となります。

$f(3) = -3^2 - 2a(3) + a^2 + 1 = -9 - 6a + a^2 + 1 = a^2 - 6a - 8$

$-1<a<1$のときは $-1 \le -a \le 3$ になっていて、軸が含まれるので、$m(a)=a^2-6a-8$

また、$m(a)=f(3)= a^2-6a-8$

$-1\le x\le3$において、$x=-1$の場合、f(-1) = -(-1)^2 -2a(-1) + a^2 + 1 = -1 + 2a + a^2 + 1 = a^2 + 2a$

$x=3$の場合、$f(3) = -3^2 -2a(3) + a^2 + 1 = -9 - 6a + a^2 + 1 = a^2 - 6a -8$

$f(-1) = a^2+2a$と$f(3) = a^2 - 6a -8$の差を考えると、

$f(-1)-f(3) = (a^2+2a)-(a^2-6a-8) = 8a+8$

$a>-1$なので、$f(-1) > f(3)$

したがって $f(3) = a^2 -6a - 8$

よって$m(a)=a^2-6a-8$

(ii) $a \le -1$ のとき、区間 $-1 \le x \le 3$ で $f(x)$ は単調減少なので、$x=3$ で最小値をとります。

したがって、$m(a) = a^2 - 6a - 8$

3. 最終的な答え

ア: $(-a, 2a^2+1)$

イ: $-a$

ウ: $-6$

エ: $-8$

オ: $-6$

カ: $-8$

(i) $a > -1$ のとき $m(a) = a^2 - 6a - 8$

(ii) $a \le -1$ のとき $m(a) = a^2 - 6a - 8$