関数 $f(x) = -2x^2 - 10x - 3$ が与えられている。 (2) $f(a - \frac{5}{2}) = 5$ を満たす定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^2 - 10x - 3$ が与えられている。

(2) $f(a - \frac{5}{2}) = 5$ を満たす定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(a - \frac{5}{2})$ を計算する。

$f(a - \frac{5}{2}) = -2(a - \frac{5}{2})^2 - 10(a - \frac{5}{2}) - 3$

これを展開して整理する。

$f(a - \frac{5}{2}) = -2(a^2 - 5a + \frac{25}{4}) - 10a + 25 - 3$

$f(a - \frac{5}{2}) = -2a^2 + 10a - \frac{25}{2} - 10a + 22$

$f(a - \frac{5}{2}) = -2a^2 - \frac{25}{2} + \frac{44}{2}$

$f(a - \frac{5}{2}) = -2a^2 + \frac{19}{2}$

$f(a - \frac{5}{2}) = 5$ なので、以下の式が成り立つ。

$-2a^2 + \frac{19}{2} = 5$

$-2a^2 = 5 - \frac{19}{2}$

$-2a^2 = \frac{10}{2} - \frac{19}{2}$

$-2a^2 = -\frac{9}{2}$

$a^2 = \frac{9}{4}$

$a = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

$a = \pm \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{3}{2}, -\frac{3}{2}$