与えられた行列 $A = \frac{1}{14}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \frac{1}{14}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

行列 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ の逆行列は、行列式 $det(A) = ad - bc$ が0でないとき、

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ で求められます。

まず、行列 $\frac{1}{14}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}$ の行列式を計算します。

$det(\frac{1}{14}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}) = (\frac{1}{14})^2 det(\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix}) = \frac{1}{196} (1\cdot 4 - (-2)\cdot 5) = \frac{1}{196} (4 + 10) = \frac{14}{196} = \frac{1}{14}$

次に、逆行列を計算します。

$(\frac{1}{14}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix})^{-1} = (\frac{1}{14})^{-1} (\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 4 \end{bmatrix})^{-1} = 14 \cdot \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$

したがって、求める逆行列は

$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$ となります。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$