与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。 $\log_2 14 \cdot \log_7 14 - (\log_2 7 + \log_7 2)$

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は以下の通りです。

$\log_2 14 \cdot \log_7 14 - (\log_2 7 + \log_7 2)$

2. 解き方の手順

まず、$\log_2 14$ と $\log_7 14$ をそれぞれ展開します。

$14 = 2 \cdot 7$ なので、

$\log_2 14 = \log_2 (2 \cdot 7) = \log_2 2 + \log_2 7 = 1 + \log_2 7$

$\log_7 14 = \log_7 (2 \cdot 7) = \log_7 2 + \log_7 7 = \log_7 2 + 1$

次に、$\log_2 14 \cdot \log_7 14$ を計算します。

$\log_2 14 \cdot \log_7 14 = (1 + \log_2 7)(1 + \log_7 2) = 1 + \log_2 7 + \log_7 2 + \log_2 7 \cdot \log_7 2$

ここで、底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、$\log_a b \cdot \log_b a = 1$ となるので、

$\log_2 7 \cdot \log_7 2 = 1$

したがって、

$\log_2 14 \cdot \log_7 14 = 1 + \log_2 7 + \log_7 2 + 1 = 2 + \log_2 7 + \log_7 2$

次に、$(\log_2 7 + \log_7 2)$ を計算します。

与えられた数式は、

$\log_2 14 \cdot \log_7 14 - (\log_2 7 + \log_7 2) = (2 + \log_2 7 + \log_7 2) - (\log_2 7 + \log_7 2)$

$= 2 + \log_2 7 + \log_7 2 - \log_2 7 - \log_7 2 = 2$

3. 最終的な答え

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