与えられた対数の積 $\log_3 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 9$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた対数の積 $\log_3 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 9$ を計算します。

2. 解き方の手順

対数の底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を利用します。

ここでは、底を10に変換して計算します。

$\log_3 5 \cdot \log_5 7 \cdot \log_7 9 = \frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 7}{\log 5} \cdot \frac{\log 9}{\log 7}$

分子と分母で同じ項を約分すると、

$\frac{\log 5}{\log 3} \cdot \frac{\log 7}{\log 5} \cdot \frac{\log 9}{\log 7} = \frac{\log 9}{\log 3}$

$9 = 3^2$ であるから、$\log 9 = \log 3^2 = 2 \log 3$ となります。

したがって、

$\frac{\log 9}{\log 3} = \frac{2 \log 3}{\log 3} = 2$

3. 最終的な答え

2