与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (4) $2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6$ (5) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(4) $2x^2 - xy - y^2 - 7x + y + 6$

(5) $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

2. 解き方の手順

(4) の因数分解の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 - (y + 7)x + (-y^2 + y + 6)$

次に、定数項を因数分解します。

$-y^2 + y + 6 = -(y^2 - y - 6) = -(y-3)(y+2)$

よって、与式は

$2x^2 - (y + 7)x - (y-3)(y+2)$

$(2x + y + 2)(x - y + 3)$ のように因数分解できると予想して展開すると、

$2x^2 - 2xy + 6x + xy - y^2 + 3y + 2x - 2y + 6 = 2x^2 - xy - y^2 + 8x + y + 6$

これは元の式と異なるため、

$(2x - y + 3)(x + y + 2)$ のように因数分解できると予想して展開すると、

$2x^2 + 2xy + 4x - xy - y^2 - 2y + 3x + 3y + 6 = 2x^2 + xy - y^2 + 7x + y + 6$

これだと $xy$ の項の符号が異なるので,

$(2x + y - 3)(x - y - 2)$のように因数分解できると予想して展開すると,

$2x^2 -2xy -4x +xy -y^2 -2y -3x +3y +6 = 2x^2 -xy -y^2 -7x +y +6$

となります。

(5) の因数分解の手順

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

$= a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

$= a^2b - a^2c + b^2c - ab^2 + ac^2 - bc^2$

これを $a$ について整理すると、

$a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + (b^2c - bc^2)$

$= a^2(b-c) - a(b+c)(b-c) + bc(b-c)$

$= (b-c)[a^2 - a(b+c) + bc]$

$= (b-c)[a^2 - ab - ac + bc]$

$= (b-c)[a(a-b) - c(a-b)]$

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

(4) $(2x + y - 3)(x - y - 2)$

(5) $-(a-b)(b-c)(c-a)$

または $(a-b)(b-c)(a-c)$