閉区間 $[-1, 2]$ において、関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$ に平均値の定理を適用したとき、それを満たす $c$ を全て求める問題です。

1. 問題の内容

閉区間 $[-1, 2]$ において、関数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$ に平均値の定理を適用したとき、それを満たす $c$ を全て求める問題です。

2. 解き方の手順

平均値の定理は、閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 $(a, b)$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $(a, b)$ に少なくとも一つ存在するという定理です。

この問題では、$a = -1$、$b = 2$ で、$f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$ です。まず、$f(2)$ と $f(-1)$ を計算します。

$f(2) = 2^3 - 2(2^2) + 2 - 5 = 8 - 8 + 2 - 5 = -3$

$f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) - 5 = -1 - 2 - 1 - 5 = -9$

次に、$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ を計算します。

$\frac{f(2) - f(-1)}{2 - (-1)} = \frac{-3 - (-9)}{2 - (-1)} = \frac{6}{3} = 2$

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$

平均値の定理から、$f'(c) = 2$ となる $c$ を探します。つまり、$3c^2 - 4c + 1 = 2$ を解きます。

$3c^2 - 4c - 1 = 0$

この二次方程式を解の公式で解きます。

$c = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

$c = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ と $c = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ が得られました。

$\sqrt{7} \approx 2.646$ なので、

$c = \frac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx \frac{2 + 2.646}{3} \approx \frac{4.646}{3} \approx 1.549$

$c = \frac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx \frac{2 - 2.646}{3} \approx \frac{-0.646}{3} \approx -0.215$

ここで、$c$ が開区間 $(-1, 2)$ に含まれるかを確認します。

$-1 < \frac{2 - \sqrt{7}}{3} < 2$ かつ $-1 < \frac{2 + \sqrt{7}}{3} < 2$ であるか確認します。

$\frac{2 - \sqrt{7}}{3} \approx -0.215$ は $(-1, 2)$ に含まれます。

$\frac{2 + \sqrt{7}}{3} \approx 1.549$ は $(-1, 2)$ に含まれます。

$c = \frac{2+\sqrt{7}}{3}$ と $c = \frac{2-\sqrt{7}}{3}$ が求める値です。

$\frac{4 + \sqrt{7}}{6} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{7}}{6}$

$\frac{4 - \sqrt{7}}{6} = \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{7}}{6}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{4}{3}$

$-1$

$1$

3. 最終的な答え

$\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

$\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$