次の4つの不定積分を求めます。積分定数は省略します。 (1) $\int (x^7 - 6x^5 + 4) dx$ (2) $\int (6 \cos x - 13 \sin x) dx$ (3) $\int \frac{2x + 5}{x^2 + 5x - 6} dx$ (4) $\int \frac{x + 5}{x^2 + 5x - 6} dx$

はい、承知いたしました。問題の不定積分を解きます。

1. 問題の内容

次の4つの不定積分を求めます。積分定数は省略します。

(1) $\int (x^7 - 6x^5 + 4) dx$

(2) $\int (6 \cos x - 13 \sin x) dx$

(3) $\int \frac{2x + 5}{x^2 + 5x - 6} dx$

(4) $\int \frac{x + 5}{x^2 + 5x - 6} dx$

2. 解き方の手順

(1) 各項を積分します。

$\int x^7 dx = \frac{x^8}{8}$

$\int -6x^5 dx = -6 \cdot \frac{x^6}{6} = -x^6$

$\int 4 dx = 4x$

したがって、

$\int (x^7 - 6x^5 + 4) dx = \frac{x^8}{8} - x^6 + 4x$

(2) 各項を積分します。

$\int 6 \cos x dx = 6 \sin x$

$\int -13 \sin x dx = -13 (-\cos x) = 13 \cos x$

したがって、

$\int (6 \cos x - 13 \sin x) dx = 6 \sin x + 13 \cos x$

(3) 分母を因数分解します。

$x^2 + 5x - 6 = (x+6)(x-1)$

分子が分母の微分に一致するように定数倍します。分母の微分は$2x+5$なので、

$\int \frac{2x+5}{x^2 + 5x - 6} dx = \int \frac{(x^2 + 5x - 6)'}{x^2+5x-6} dx = \ln |x^2+5x-6|$

したがって、

$\int \frac{2x + 5}{x^2 + 5x - 6} dx = \ln |x^2+5x-6| = \ln|(x+6)(x-1)|$

(4) 分母を因数分解します。

$x^2 + 5x - 6 = (x+6)(x-1)$

部分分数分解を行います。

$\frac{x+5}{x^2+5x-6} = \frac{x+5}{(x+6)(x-1)} = \frac{A}{x+6} + \frac{B}{x-1}$

$x+5 = A(x-1) + B(x+6)$

$x=1$のとき、$6 = 7B$より$B = \frac{6}{7}$

$x=-6$のとき、$-1 = -7A$より$A = \frac{1}{7}$

したがって、

$\frac{x+5}{x^2+5x-6} = \frac{1/7}{x+6} + \frac{6/7}{x-1}$

$\int \frac{x+5}{x^2+5x-6} dx = \frac{1}{7} \int \frac{1}{x+6} dx + \frac{6}{7} \int \frac{1}{x-1} dx$

$= \frac{1}{7} \ln|x+6| + \frac{6}{7} \ln|x-1| = \frac{1}{7}(\ln|x+6| + 6\ln|x-1|)$

$= \frac{1}{7} \ln|x+6| + \frac{6}{7} \ln|x-1| = \frac{1}{7} \ln |(x+6)(x-1)^6|$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^8}{8} - x^6 + 4x$

(2) $6 \sin x + 13 \cos x$

(3) $\ln |x^2+5x-6| = \ln|(x+6)(x-1)|$

(4) $\frac{1}{7} \ln|x+6| + \frac{6}{7} \ln|x-1| = \frac{1}{7} \ln |(x+6)(x-1)^6|$