次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{(x-\frac{\pi}{2}) \tan x}$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{(x-\frac{\pi}{2}) \tan x}$

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、ロピタルの定理を使えるように式を変形します。

まず、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用します。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1}{(x-\frac{\pi}{2}) \tan x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(x-\frac{\pi}{2}) \sin x}$

ここで、$x - \frac{\pi}{2} = t$ と置換すると、$x = t + \frac{\pi}{2}$ となり、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{(x-\frac{\pi}{2}) \sin x} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t+\frac{\pi}{2})}{t \sin(t+\frac{\pi}{2})}$

$\cos(t+\frac{\pi}{2}) = -\sin t$ であり、$\sin(t+\frac{\pi}{2}) = \cos t$ であるので、

$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin t}{t \cos t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin t}{t \cos t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\cos t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ であり、$\lim_{t \to 0} \cos t = 1$ であるので、

$\lim_{t \to 0} \frac{-\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\cos t} = -1 \cdot \frac{1}{1} = -1$

したがって、求める極限は -1 です。

3. 最終的な答え

-1