$\lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^{-1}(x)$ の微分を利用するために、まず $\sin^{-1}(0) = 0$ であることを確認します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x}$ の形は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を用いることができます。

ロピタルの定理により、

$\lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{5})^2}} \cdot \frac{1}{5}}{1}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{3}{5\sqrt{1 - \frac{x^2}{25}}} = \frac{3}{5\sqrt{1 - 0}} = \frac{3}{5}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x} = \frac{3}{5}$

別解として、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = 1$ を利用する方法があります。

$\lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{\frac{x}{5}} \cdot \frac{1}{5} = 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}(\frac{x}{5})}{\frac{x}{5}} \cdot \frac{1}{5}$

ここで、$\frac{x}{5} = t$ と置くと、$x \to 0$ のとき $t \to 0$ であるから、

$3 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin^{-1}(t)}{t} \cdot \frac{1}{5} = 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

3/5