問題は、2次関数 $f(x) = -x^2 - 4x - 1$ について、以下の2つの問いに答えるものです。 (1) $f(0)$, $f(-1)$, $f(\sqrt{3} - 2)$ の値を求める。 (2) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフを書き、軸と頂点を求める。

1. 問題の内容

問題は、2次関数 $f(x) = -x^2 - 4x - 1$ について、以下の2つの問いに答えるものです。

(1) $f(0)$, $f(-1)$, $f(\sqrt{3} - 2)$ の値を求める。

(2) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフを書き、軸と頂点を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(0)$, $f(-1)$, $f(\sqrt{3} - 2)$ の値を求める。

- $f(0) = -(0)^2 - 4(0) - 1 = -1$

- $f(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) - 1 = -1 + 4 - 1 = 2$

- $f(\sqrt{3} - 2) = -(\sqrt{3} - 2)^2 - 4(\sqrt{3} - 2) - 1$

$(\sqrt{3} - 2)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})(2) + (2)^2 = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\sqrt{3}$

$f(\sqrt{3} - 2) = -(7 - 4\sqrt{3}) - 4\sqrt{3} + 8 - 1 = -7 + 4\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 7 = 0$

(2) 2次関数 $y=f(x)$ のグラフを書き、軸と頂点を求める。

- $f(x) = -x^2 - 4x - 1$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 + 4x) - 1$

$f(x) = -[(x + 2)^2 - 4] - 1$

$f(x) = -(x + 2)^2 + 4 - 1$

$f(x) = -(x + 2)^2 + 3$

- よって、グラフは頂点が $(-2, 3)$ で、上に凸な放物線となる。軸は $x = -2$ である。

3. 最終的な答え

(1)

- $f(0) = -1$

- $f(-1) = 2$

- $f(\sqrt{3} - 2) = 0$

(2)

- グラフ: 頂点 $(-2, 3)$ で上に凸な放物線。

- 軸: $x = -2$

- 頂点: $(-2, 3)$