与えられた数式の値を計算する問題です。数式は以下の通りです。 $ \frac{2\log_{10} \frac{5}{3}}{7-\frac{\log_{10}}{4}} + 2\log_{10} 3 + \frac{1}{\frac{2}{\log_{10} 49}} $

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算する問題です。数式は以下の通りです。

$\frac{2\log_{10} \frac{5}{3}}{7-\frac{\log_{10}}{4}} + 2\log_{10} 3 + \frac{1}{\frac{2}{\log_{10} 49}}$

2. 解き方の手順

まず、各項を個別に計算します。

(1) $\frac{2\log_{10} \frac{5}{3}}{7-\frac{\log_{10}}{4}}$ の計算: 分母に $\log_{10}$ とありますが、これは $\log_{10}10 = 1$ の誤りであると解釈します。したがって、分母は $7 - \frac{1}{4} = \frac{28 - 1}{4} = \frac{27}{4}$ となります。したがって、

$\frac{2\log_{10} \frac{5}{3}}{\frac{27}{4}} = \frac{8}{27} \log_{10} \frac{5}{3}$

(2) $2\log_{10} 3$ はそのままにしておきます。

(3) $\frac{1}{\frac{2}{\log_{10} 49}}$ の計算:

$\frac{1}{\frac{2}{\log_{10} 49}} = \frac{\log_{10} 49}{2} = \frac{\log_{10} 7^2}{2} = \frac{2 \log_{10} 7}{2} = \log_{10} 7$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$\frac{8}{27} \log_{10} \frac{5}{3} + 2\log_{10} 3 + \log_{10} 7$

$= \frac{8}{27} (\log_{10} 5 - \log_{10} 3) + 2\log_{10} 3 + \log_{10} 7$

$= \frac{8}{27} \log_{10} 5 - \frac{8}{27} \log_{10} 3 + 2\log_{10} 3 + \log_{10} 7$

$= \frac{8}{27} \log_{10} 5 + (2 - \frac{8}{27}) \log_{10} 3 + \log_{10} 7$

$= \frac{8}{27} \log_{10} 5 + (\frac{54-8}{27}) \log_{10} 3 + \log_{10} 7$

$= \frac{8}{27} \log_{10} 5 + \frac{46}{27} \log_{10} 3 + \log_{10} 7$

$= \log_{10} 5^{\frac{8}{27}} + \log_{10} 3^{\frac{46}{27}} + \log_{10} 7$

$= \log_{10} (5^{\frac{8}{27}} \cdot 3^{\frac{46}{27}} \cdot 7)$

しかし、元の問題の意図が少し異なる場合を考えます。もし、$\frac{\log_{10}}{4}$ が $\frac{1}{4}\log_{10}10 = \frac{1}{4}$ を意味するのであれば、計算は次のようになります。

(1) $7-\frac{1}{4} \log_{10} 10 = 7-\frac{1}{4} = \frac{27}{4}$ なので、最初の項は$\frac{2\log_{10} \frac{5}{3}}{\frac{27}{4}} = \frac{8}{27} (\log_{10}5 - \log_{10}3)$

(2) 第二項は $2\log_{10}3$

(3) $\frac{1}{\frac{2}{\log_{10}49}} = \frac{\log_{10}49}{2} = \log_{10}7$

したがって与えられた式は

$\frac{8}{27} \log_{10}5 - \frac{8}{27} \log_{10}3 + 2\log_{10}3 + \log_{10}7 = \frac{8}{27} \log_{10}5 + \frac{46}{27} \log_{10}3 + \log_{10}7$

$= \log_{10} \left( 5^{\frac{8}{27}} 3^{\frac{46}{27}} 7 \right)$

仮に、最初の分数の分母が $7 - \log_{10}4$ だとすると:

$7 - \log_{10}4 = 7 - \log_{10}2^2 = 7 - 2\log_{10}2 \approx 7 - 2(0.3010) = 7 - 0.602 = 6.398$

最初の項は $\frac{2(\log_{10}5 - \log_{10}3)}{6.398} \approx \frac{2(0.699 - 0.4771)}{6.398} = \frac{2(0.2219)}{6.398} = \frac{0.4438}{6.398} \approx 0.06936$

そして、$2\log_{10}3 + \log_{10}7 \approx 2(0.4771) + 0.8451 = 0.9542 + 0.8451 = 1.7993$

結果として、 $0.06936 + 1.7993 \approx 1.86866$

ここで、 $\frac{\log_{10}}{4}$ は $\frac{\log_{10}10}{4} = \frac{1}{4}$ であると仮定して計算したものが一番可能性が高そうです。

3. 最終的な答え

$\log_{10} (5^{\frac{8}{27}} \cdot 3^{\frac{46}{27}} \cdot 7)$